binomio de newton

Binomio de newton

El teorema binomial o binomio de Newton especifica la expansión de cualquier potencia de un binomio, es decir, la expansión de (a+b)m. De acuerdo a este teorema, el primer término es am, el segundo es mam−1b, y en cada término adicional la potencia de a disminuye en 1 y la de b aumenta en

1. El teorema es una consecuencia de la regla distributiva y se puede demostrar por inducción.

La regla de expansión que se sigue del teorema es: el coeficiente del término siguiente se calcula a partir del actual multiplicando el coeficiente por el exponente de a, y dividiendo el resultado entre la posición. Ejemplo: el coeficiente del siguiente término de mam−1b es m(m−1)/2.

La regla es fácil de retener en la memoria después de practicar en unos cuantos ejemplos:

(a+b)5=a5+5a4b+(20/2)a3b2+(30/3)a2b3+(20/4)ab4+b5

Los coeficientes también pueden leerse en el Triángulo de Pascal. La importancia para la combinatoria es que los coeficientes cuentan el número de subconjuntos de tamaño k (en el término k) tomados de un conjunto de tamaño m. El binomio de Newton es la función generatriz que cuenta el tamaño de esos subconjuntos. 

El Triángulo de Pascal es un diagrama triangular que presenta los coeficientes del desarrollo del Binomio de Newton (1+x)n, por filas y diagonales. Como se sabe, el coeficiente de xk en el Binomio de Newton es C(n,k).  Ese número se localiza en la fila n y diagonal k, y todos los coeficientes están en la fila n. Nota: n inicia con 0. 

Ejemplo: Leer los coeficientes de (1+x)4 en el triángulo de Pascal. (Ver figura.)

Iniciando el conteo de n con cero, en la cúspide del triángulo, se llega a la fila n=4, la cual presenta los números 1,4,6,4,1. Esto quiere decir que la expansión de (1+x)4 es 1+4x+6x2+4x3+x4. Notemos que el exponente de la x es la k. De esta manera 6=C(4,2).